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第7讲 高斯光束的聚焦和准直

  激光原理与技术· 激光原理与技术·原理部分 第7讲 高斯光束的聚焦、 高斯光束的聚焦、准直 7.1 高斯光束通过薄透镜的变换 – 已知入射高斯光束束腰半径为ω0,束腰 与透镜的距离为l 透镜的焦距为F 与透镜的距离为l,透镜的焦距为F,各参数相 互关系如下图,则有: 互关系如下图,则有: – z=0处, (0) = q 0 = iπω 20 / λ z=0处 q q – 在A面处: ( A) = q 0 + l 面处: ω0 ω0 ωC – 1 1 1 面处: 在B面处: ( B) = q( A) ? F q l l – 在C面处: (C ) = q( B) + lC 面处: q 7.1 高斯光束通过薄透镜的变换 ? ? 由的q(C)可以确定经过薄透镜传输后的高斯光束特性 由的q(C)可以确定经过薄透镜传输后的高斯光束特性,下面分情况讨论 可以确定经过薄透镜传输后的高斯光束特性, 薄透镜的变换规律。 薄透镜的变换规律。 ? 1 ? 面取在像方束腰处, 当C面取在像方束腰处,此时 RC → ∞, Re ? ? = 0 ,由上一页的方程联立可 ? qC ? 以求出: 以求出: 2 ? πω 20 ? 2 2 ? πω 0 ? l(F ? l) ? ? F ? ? ? λ ? ? ? λ ? qC = lC + F +i (1) 2 ? πω 20 ? 2 ? πω 20 ? ( F ? l )2 + ? (F ? l) + ? ? ? λ ? ? ? λ ? 得出: 由 Re 1/ qC = 0 得出: ? { } l ( F ? l ) ? (πω 20 / λ ) 2 ? =0 ?lC + F ( F ? l ) 2 + (πω 20 / λ ) 2 ? ? F 2 (πω 20 / λ ) ?q = i ? C ( F ? l ) 2 + (πω 20 / λ ) 2 ? ? (l ? F ) F 2 ? ?l = lC = F + (l ? F )2 + (πω 2 / λ )2 0 ? ? 2 2 ? 1 = ? π Im (1/ q ) = 1 ?1 ? l ? + 1 ? πω 0 ? ? ? C ? ω 20 λ ω 20 ? F ? F 2 ? λ ? ? ? ? 得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。 得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。 7.1 高斯光束通过薄透镜的变换 ? 2 l ?2 ? πω 20 ? 2 ? f ?2 ? ? ( l ? F ) 或 ? ? ? ?1 ? ? 条件时,由束腰关系公式: 条件时,由束腰关系公式: 当满足 ? ? ? λ ? ?F? ? F? 1 1 1 几何光学薄透 F2 lF (l ? F ) F 2 + = l≈ F + = l= F + 2 镜成像公式 l l F (l ? F ) 2 + (πω 20 / λ ) l?F l?F ? 由束腰半径的关系公式: 由束腰半径的关系公式: 1 1 ? l ? 2 1 ? πω 0 ? 2 = 2 ?1 ? ? + 2 ? ? 2 ω0 ω 0 ? F ? F ? λ ? ω 0 F l ≈ = =k ω0 l ? F l 几何光学薄透 镜成像垂轴放 大率公式 ? 束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值,可以将其类比为几何光学中光束的焦点, 束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值,可以将其类比为几何光学中光束的焦点, 在满足假设条件的情况下,物方、像方高斯光束经过薄透镜后束腰和半径的变换 在满足假设条件的情况下,物方、 规律与几何光学中的物、像规律相符, 规律与几何光学中的物、像规律相符,由此可见当满足条件时可以用几何光学的方法 粗略的研究近轴高斯光束。 粗略的研究近轴高斯光束。 当不满足以上条件时,则不能套用几何光学的结论, 当不满足以上条件时,则不能套用几何光学的结论,例如当 l = F 时,可以求出 l = F 此时物方、像方高斯光束的束腰都位于焦点处,这与几何光学中平行光成像于无穷远 此时物方、像方高斯光束的束腰都位于焦点处, 处的结论不相符。 处的结论不相符。 ? 7.1 高斯光束通过薄透镜的变换 ? 如果令 lC = F ,即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面,可以利用前面的公式求出束腰 即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面, 的半径: 的半径: ? πω 20 ?f = λ ? 2 2 F (F ? l) F f ? F 2( F ? l ) qC = +i = a + ib 其中: ?a = 其中: 2 2 2 2 ( F ? l )2 + f 2 (F ? l) + f (F ? l) + f ? ? F2 f ?b = ( F ? l )2 + f 2 ? 1 a b 1 λ qC = a +b 2 2 ?i a +b 2 2 = RC ?i πω C 2 1 ω2C ωC = ?1? π b π π f ? πω 0 ? 2 = ? Im ? ? = ? 2 2 = 2 =? λ ? qC ? λ a + b λ F ? λ F ? λ F πω 0 7.2 高斯光束的聚焦 – 高斯光束的聚焦,指的是通过适当的光学系统 高斯光束的聚焦, 减小像方高斯光束的束腰半径, 减小像方高斯光束的束腰半径,从而达到对其 进行聚焦的目的。 进行聚焦的目的。 – 1、F一定时,ω’0随着l变化的情况 一定时, 随着l 我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变 换时束腰半径变换规律研究其规律: 换时束腰半径变换规律研究其规律: 1 1 ? l ? 2 1 ? πω 0 ? 2 = 2 ?1 ? ? + 2 ? ? 2 ω0 ω 0 ? F ? F ? λ ? 7.2 高斯光束的聚焦 A、当lF时,ω’0将随着l的减小而减小,因此当l=0时有最小值: lF时 将随着l的减小而减小,因此当l=0时有最小值: l=0时有最小值 ω 0 = ω0 ω0 = 2 2 1 + (πω 0 / λ ) 1+ ( f / F ) ? ? F2 F 此时像方高斯光束束腰: 此时像方高斯光束束腰:l = F ?1 ? = ? F 2 + (πω 20 / λ ) 2 ? 1 + ( F / f ) 2 F ? ? ? 而垂轴放大率: 而垂轴放大率: k = 可见当l=0 可见当l=0时,不论F为何值,都可以对高斯光束进行聚焦,且像 l=0时 不论F为何值,都可以对高斯光束进行聚焦, πω 20 = f 条件, 方束腰在前焦点以内; 条件, 方束腰在前焦点以内;如果进一步满足 F λ 此时像方束腰位于透镜前焦面上, 则 ω 0 ≈ λ F , l ≈ F ,此时像方束腰位于透镜前焦面上,而且聚 ω πω 0 焦效果随着F的减小而增强。 焦效果随着F的减小而增强。 ω 0 ω 0 1 = 1 2 ω0 1+ ( f / F ) 0 F 7.2 高斯光束的聚焦 ? B、当lF时, ω0’ 随着l的增大而单调的减小,当 l F 时,由 lF时 随着l的增大而单调的减小, 公式可以得出结论: 公式可以得出结论: 可以得出结论 ω0 ω0 ω 0 → 0, l → F 更进一步的,如果满足 l 更进一步的, → ∞ 时,有: l F l≈ F 1 1 ? l ? 2 1 ? πω 0 ? 2 1 ? πω 0 ? 2 ? ? λl ? 2 ? π2 2 = 2 ?1 ? ? + 2 ? ? = 2? ? ?1 + ? 2 ? ? = 2 2 ω (l ) 2 ω 0 ω 0 ? F ? F ? λ ? F ? λ ? ? ? πω 0 ? ? F λ (l ? F ) F λ 此时 l = F + → ω 0 ≈ F 2 ??? F + 0 ≈ F 2 l F 2 (l ? F ) + (πω 0 / λ ) πω (l ) 2 7.2 高斯光束的聚焦 πω 20 若同时满足 l = f λ 则 F ω 0 = ω 0 l 1 1 ? πω 0 ? 2 ? ? l ? 2 ? f 2 1 l 2 ? l ? 2 = 2? ? ?1 + ? ? ? ≈ 2 2 2 = ? ? 2 Fω 0 ? ω0 F ? λ ? ? ? f ? ? F ω 0 f ? 可以得出结论,当物方高斯光束束腰远离透镜时, 可以得出结论,当物方高斯光束束腰远离透镜时, 距离l的增加以及焦距F 距离l的增加以及焦距F的减小都会引起像方高斯 光束束腰半径的减小,即聚焦效果的增强。 光束束腰半径的减小,即聚焦效果的增强。以上 的讨论都没有考虑透镜孔径引起的衍射效应。 的讨论都没有考虑透镜孔径引起的衍射效应。 7.2 高斯光束的聚焦 ? ω C、当l=F时,ω’0有极大值: 0 = l=F时 有极大值: λ F F = ω0 πω 0 f ? 而且可以得出:l’=F,从ω’0的公式可以看出,只有在Ff时,才有聚焦的 而且可以得出: =F, 的公式可以看出,只有在Ff时 作用。 作用。 综合以上三点的讨论,我们可以用下图来总结F为定值时ω 变化的规律: 综合以上三点的讨论,我们可以用下图来总结F为定值时ω’0随l变化的规律: ω0 λ F πω 0 ω0 ω0 2 ? f ? 1+ ? ? ?F? l 7.2 高斯光束的聚焦 ? 2、l一定时,ω’0随F的变化情况 一定时, 由薄透镜变换公式: 由薄透镜变换公式: 2 1 1 ? l ? 2 1 ? πω 0 ? 1 ? l ?2 1 ? f ?2 = 1? ? + 1? ? + ? = ? ω 20 ω 20 ? F ? F 2 ? λ ? ω 20 ? F ? ω 20 ? F ? ? ? ? ? 若要求ω ω’ 若要求ω0= ω’0,则 l ?2 ? f ?2 ? ?1 ? ? + ? ? = 1 ? F? ?F? l 2 + f 2 1 ? ? f ? 2 ? R(l ) F= = l ?1 + ? ? ? = 2l 2 ? ?l ? ? 2 高斯光束等相位面 曲率半径的定义 当ω0和l一定时, ω’0随F的变化规律如图所示: 1 一定时, 的变化规律如图所示: 从结果可知, 一定时, 从结果可知,l一定时,只有当满足条 ω 0 2 1 R(l ) 时,才能对高斯光束起聚 2 焦作用, 值越小,聚焦效果越好。 焦作用,且F值越小,聚焦效果越好。 件F ω 02 R (l ) / 2 R (l ) F 7.2 高斯光束的聚焦 ? 从的讨论可以得出结论,要获得尽可 从的讨论可以得出结论, 能好的聚焦效果,可以采取的方法有: 能好的聚焦效果,可以采取的方法有: – 尽量采用短焦距的透镜; 尽量采用短焦距的透镜; – 使高斯光束束腰远离透镜的焦平面,满足 使高斯光束束腰远离透镜的焦平面, 条件 l F , l f ; – 使高斯光束束腰位于透镜上,即l=0,并设 使高斯光束束腰位于透镜上, l=0, F 法满足条件: 法满足条件: f ; 7.2 高斯光束的聚焦 ? 典型应用 7.3 高斯光束的准直 ? 准直:利用光学系统压缩高斯光束的远场发散角。 准直:利用光学系统压缩高斯光束的远场发散角。 ? 1、单透镜对高斯光束的发散角的影响 πω0 λ θ 高斯光束发散角为: = 2 λ 透过焦距为F的薄透镜后,发散角为: = 2 πω 透过焦距为F的薄透镜后,发散角为: 高斯光束发散角为: θ 0 由薄透镜传输变换公式可得到: = 2λ 由薄透镜传输变换公式可得到: θ π 1 ? l ? 2 1 ? πω 0 ? 2 2 ?1 ? ? + 2? ? ω0? F? F ? λ ? 若要 θ → 0 ,则要求 ω 0 → ∞ ,然而从表达式得出结论,当ω0为有限值 然而从表达式得出结论, 无论F 取何值,都不可能满足这一条件,因此得到结论: 时,无论F、l取何值,都不可能满足这一条件,因此得到结论:单透镜 不能将高斯光束转换为平面波。 – 如何才能实现发散角的压缩呢?从高斯光束发散角表达式可知,当ω 0 ω 0 如何才能实现发散角的压缩呢?从高斯光束发散角表达式可知, 时,有 有最大值时, 有最小值。 θ θ ,即在一定条件下如果ω’0有最大值时,θ’有最小值。 2.3高斯光束的变换 2.3高斯光束的变换 ? 前面的讨论中曾经得到结论,当l=F时, ω’0有最大值:ω 0 = 有最大值: 前面的讨论中曾经得到结论, l=F时 ? λ ω0 =2 此时 θ = 2 πω 0 F Fλ θ 2ω 0 / F πω 20 f ,故有 = = = θ 2λ /(πω0 ) λ F F πω 0 = F ω0 f ? 故此可以得到在物方高斯光束束腰位于焦面上时: 故此可以得到在物方高斯光束束腰位于焦面上时: – F越大,像方发散角越小,反之亦然; 越大,像方发散角越小,反之亦然; – ω0越小,像方发散角越小,反之亦然; 越小,像方发散角越小,反之亦然; f ? 1 时,有较好的准直效果; – 有较好的准直效果; F ? 由此可以得出结论,可以用一个透镜先压缩高斯光束的束腰半径,再 由此可以得出结论,可以用一个透镜先压缩高斯光束的束腰半径, 用一个长焦透镜压缩高斯光束的发散角。 用一个长焦透镜压缩高斯光束的发散角。 2.3高斯光束的变换 2.3高斯光束的变换 – 2、利用望远镜将高斯光束准直 ? 按照前面的构想,构造如下图的系统,该系统实际上是一倒置的望远镜系统。 ? F1为短焦透镜,满足 l ? F ,它将 L2 物方高斯光束聚焦于焦面,此时物方束 θ θ L1 ω0 腰半径有极小值:ω 0 = ( λ F ) / [πω (l )] (1) ω0 ? 若ω’0在l2的后焦面上,满足l=F条件, 的后焦面上,满足l=F条件, θ 可进行准直,发散角的压缩率为: = M θ θ θ πω 0 θ ? 2λ ? ? 2λ ? ω 0 = , =? ?/? ?= θ λ F 2 θ ? πω 0 ? ? πω 0 ? ω 0 l F1 F2 θ π F ω = ω 0ω 0 = 1 0 θ λF 2 F 2 ω (l ) ? l ?2 F 2 ω (l ) ω (l ) M = =M = M 1+ ? ? ω0 F1 ω0 ? f ? 其中M几何光学中放大镜的准直倍率。 其中M几何光学中放大镜的准直倍率。可 见当l 一定时,可以通过提高M 见当l、f一定时,可以通过提高M压缩发 散角。 散角。 这些讨论都是基于 α ? ω ,即不考虑 衍射效应,当不满足这一条件时,提高M 衍射效应,当不满足这一条件时,提高M 不能无限压缩发散角, 不能无限压缩发散角,此时的发散角大 小还与望远镜孔径有关。 小还与望远镜孔径有关。 2.3高斯光束的变换 2.3高斯光束的变换 ? 望远镜有透射、反射或者折-反射几种形式,如下图所示: 望远镜有透射、反射或者折-反射几种形式,如下图所示: ω 0 L1 ω 0 F1 L2 F2 L2 ω0 L1 ω0 F1 F2 ? 各种形式的望远镜系统有各自的特点和应用。 各种形式的望远镜系统有各自的特点和应用。 习题 – 地面通信机发出功率为1W ,全发散角为 θ = 2 × 10?3 rad 地面通信机发出功率为1W 的基模激光束,经地面上的接力站所接收。 的基模激光束,经地面上的接力站所接收。 – (1)假设大气的衰减为10dB/km , 接力站接收为 (1)假设大气的衰减为 假设大气的衰减为10dB/km 1cm2 ,所需的最小接收信为1?W,此时通讯机与接 所需的最小接收信为1?W, 力站间的最大距离应为多少? 力站间的最大距离应为多少? – (2) 假如大气衰减为0,全发散角减小到10-6rad ,接 假如大气衰减为0 全发散角减小到10 收器增加为10cm 收器增加为10cm2,这时通讯机与接力站的距离 最大为多少?该系统能否用于地面-卫星或星际通讯? 最大为多少?该系统能否用于地面-卫星或星际通讯?

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