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与幂函数的导常数的导数数

  第 3.2 三 章 3.2.1& 3.2.2 导 数 及 与 幂函数 的导数 其 应 导数公 用 式表 理材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 返回 返回 3.2.1&3.2.2 与幂函数的导数 导数公式表 返回 利用导数的定义可得x′=1,(x2)′=2x,(x3)′=3x2. 问题1:当n∈N+时,y=xn的导数公式是什么? 提示:y′=nxn-1. 问题 2:当 n=12时,(x12)′=12x-12(x0)成立吗? 提 示 : 由 Δy Δx = x+Δx- Δx x= ? Δx x+Δx+ = x?Δx 1 x+Δx+ ,得 y′=lim x Δx→0 ΔΔxy=2 1 x=12x-12.所以( x 1 2 )′ =12 x ? 1 2 成立. 返回 基本初等函数的导数公式表 y=f(x) y=C y=xn(n为自然数) y=xμ (x0,μ≠0,μ为有理数) y′=f′(x) y′=0 y′=nxn-1 y′=μxμ-1 返回 y=f(x) y=ax(a0,a≠1) y=ex y=logax (a0,a≠1,x0) y=ln x y=sin x y=cos x y′=f′(x) y′=axln a y′=ex y′=xln1 a y′=1x y′=cos x y′=-sin x 返回 1.对于基本初等函数导数公式,只要求能够记忆并 会利用它们求简单函数的导数即可. 2.注意区分幂函数的求导公式(xn)′=nxn-1(n∈Q), 与指数函数的求导公式(ax)′=axln a. 返回 返回 [例 1] 求下列函数的导数. (1)y=5x;(2)y=x13;(3)y=4 x3;(4)y=lg x. [思点拨] 先将解析式化为基本初等函数的形式,常数的导数 再利用公式求导. 返回 [精解详析] (1)y′=(5x)′=5xln 5; (2)y′=(x13)′=(x-3)′=-3x-4; (3)y′=(4 x3)′=(x34)′=34x-14= 3 4 ; 4x (4)y′=(lg x)′=xln110. 返回 [一点通] 用导数公式求导,可以简化运算过程、降 低运算难度.解题时根据所给函数的特征,将题中函数的 结构进行调整,再选择合适的求导公式. 返回 1.若 f(x)=3 x,则 f′(1)等于 () A.0 B.-13 C.3 D.13 解析:∵f′(x)=(x13)′=13x-23=13·12= x3 3 1, 3 x2 ∴f′(1)=13. 答案:D 返回 2.求下列函数的导数. (1)y=x6;(2)y=cos x; (3)y=x2 x;(4)y=2sinx2cosx2. 解:(1)y′=(x6)′=6x5; (2)y′=(cos x)′=-sin x; (3)y′=(x2 x)′=(x2·x12)′=(x52)′=52x32; (4)∵y=sin x,常数的导数∴y′=cos x. 返回 [例 2] 求曲线 y=cos x 在(π4,22)处的切线方程. [思点拨] 解答本题可先应用导数公式求出函数 在 x=π4 处的导数,即切线的斜率,然后根据直线方程 的点斜式公式,写出切线方程. 返回 [精解详析] y′=-sin x,y′x=π4=- 22, ∴切线. 返回 [一点通] 求曲线的切线方程一般有下列两种情况: 一是求曲线在点P处的切线方程,这时P点在曲线上,且P 一定为切点.二是求过点P与曲线相切的直线方程,常数的导数这时P 点不一定在曲线上,不一定为切点.做题时,一定要仔细 读懂题意,分清所求切线方程为哪种情况,以便于找准正 确的解题思. 返回 3.设曲线 y=cos x 在点 A(π6, 23)处的切线倾斜角为 θ, 求 tan θ 的值. 解:∵y=cos x,∴y′=-sin x. ∴在点 A 处切线斜率为 k=-sinπ6=-12. ∴tan θ=-12. 返回 4.过点A(0,-1)作抛物线的切线.求切点P的坐标 和切线方程. 解:设点 P(x0,x20),则 y′x=x0=2x0. 切线)在切线 时,点 P 的坐标为(1,1). 切线 时点 P 的坐标为(-1,1). 切线.熟记导数公式表,必要时先化简再求导. 2.导数公式表中(ax)′=axln a 与(logax)′=xln1 a 较易混淆,要区分公式的结构特征,找出它们之间的 差异去记忆. 3.直线与曲线相切时,切点是直线与曲线的公共 点,切线的斜率是曲线对应的函数在切点处的导数. 返回 点击下图进入“应用创新演练” 返回

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